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Simulare il moto di un proiettile

Simulare con GeoGebra il moto di un punto, in questo caso un proiettile, è abbastanza semplice. Ecco quel che devi sapere:

  1. Puoi piazzare sullo schermo un punto indicandone nome e coordinate; se ad esempio digiti nella linea di comando di GeoGebra P = (3,4), il punto P verrà creato nella posizione indicata.
  2. Non è necessario che la posizione di P sia fissa! Ogni coordinata può essere determinata da una formula dipendente da uno o più variabili ognuna rappresentata ad esempio da uno slider in modo da poterne cambiare il valore, come conseguenza si otterrà il ricalcolo istantanel del punto P e il suo spostamento sullo schermo.
  3. In Fisica la descrizione di un moto si fa esattamente così. Ogni moto avviene o su una linea retta (moto unidimensionale) o su un piano (moto bidimensionale) o nello spazio (moto tridimensionale). Di conseguenza il punto in moto sarà descritto da 1, 2 o 3 coordinate che cambiano con lo scorrere del tempo. Matematicamente, riferendoci a un moto piano e quindi alle coordinate x e y, avremo che esse saranno espresse come funzioni del tempo t: x(t) e y(t), le cosiddette equazioni del moto

Le equazioni del proiettile nel vuoto.

Se trascuriamo la resistenza dell'aria, un proiettile è soggetto solo alla forza di gravità che agisce eslusivamente lungo l'asse y (identificato con la verticale) e quindi la traiettoria seguita è la composizione di un moto rettilineo uniforme lungo l'asse x, con un moto uniformemente accelerato lungo l'asse y. Ricordando le formule relative avremo:

$ x(t) = x_{0} + V_{0x} \cdot t $

$ y(t) = y_{0} + V_{0y} \cdot t - \frac {1} {2} \cdot g \cdot t^2 $

in cui $ V_{0x}, V_{0y} $ sono le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale, g è l' accelerazione di gravità , t il tempo e $ (x_{0},y_{0}) $ la posizione iniziale del proiettile solitamente fissata (nel nostro caso) nell'origine del sistema di riferimento.

Le equazioni del proiettile in presenza d'aria

Tenere conto della resistenza dell'aria è molto più difficile! Diciamo solo che, detto $\mu$ il coefficiente di attrito, trascurando la forma del proiettile e un sacco di altri fattori che intervengono nella realtà ed eseguendo calcoli al di fuori della nostra portata si arriva a determinare le seguenti equazioni (usate nell'animazione GeoGebra):

$ x(t) = x_{0} + \frac {V_{0x} } {\mu} \cdot (1 - e^{-\mu t}) $

$ y(t) = y_{0} - \frac {g}{\mu} + \frac {V_{0y} + \frac {g}{\mu} }{\mu} \cdot (1 - e^{-\mu t}) $

Trovi qui una trattazione più esauriente dell'argomento.
Topic revision: r1 - 01 Jan 2010 - 13:37:43 - MassimoMancini
 
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